投資における確率の理解
投資における確率の理解
投資において非常に重要でありながら、容易に見落とされがちな側面は、投資の不確実性が非常に高いことは誰もが理解しているにもかかわらず、確率分布をあまり見ないことだ。
仮に三つの状況を考えてみよう。
1. ある株は30%の確率で50%上昇し、70%の確率で40%上昇する。期待収益率は44%。
2. ある株は50%の確率で50%上昇し、50%の確率で30%上昇する。期待収益率は40%。
3. ある株は30%の確率で60%上昇し、70%の確率で15%上昇する。期待収益率は28.5%。
期待収益率を見せられた場合、私は最初の株が一番好きだが、分布を見せられた場合、私は三番目の株が一番好きだ。なぜなら、不確実性が非常に高い世界において、最も重要なのは最悪のシナリオでも生き残れることを確保することだからだ。そして、分布に基づく意思決定は、ダウンサイドリスクをより良く管理することを可能にする。
確率分布は、世界の運営方法を考えるための視点も提供する。
多くの歴史的な発展は、いわゆるパワー・ロー分布（power law）に従っており、また多くは正規分布（normal distribution）に従っている。どちらも美しい曲線だが、その意味はまったく異なる。人間の寿命を例に挙げると、人間の寿命は正規分布であると言える。最も重要な理由は、平均値の周辺に最も多くの人が集まるのではなく、境界が非常に明確であるからだ。人間の寿命の期待値が何であれ、平均値の二倍を超えることは決してない。また、多くの場合、身長や体重も同様の論理で考えることができる。例えば、平均身長が170センチであれば、世界には身長が3メートル4センチの人はいない（巨人症のような病気を除いて）だろう。
ネットワーク効果や伝播に関連する多くの状況は、パワー・ロー分布に従っている。ソーシャルネットワークにおけるフォロワー数、動画の再生回数、感染症のR0（基本再生産数）などだ。パワー・ロー分布の顕著な特徴は、極端な端点の出現確率が想像以上に高いことである。
確率分布自体は、世界に関する直接的な情報を提供しないが、ある現象が特定の分布に従っていることを観察すると、その現象の背後にある論理について多くのことを知ることができる。例えば、何かが正規分布に従っているのを見た場合、その基盤となるプロセスが中心極限定理（central limit theorem）に従っている可能性が高いと考えられる。
確率分布を用いて問題を考える例を挙げてみよう：多くの人が株式投資をする際に、いわゆるスマートマネーについて議論する。もし過去に多くの長い歴史を持つヘッジファンドがある株を買っていたら、私たちはその株を買うかもしれない。興味深いのは、もし全員が無作為に買っているとしたら、どのような確率分布が得られるだろうか？先ほどの問題と同様に、最も正確に買った人は、ただ運良く当たった人に過ぎないだろう。しかし、寿命のように、もし投資市場全体がほぼランダムな世界であれば、リターンは正規分布に従うべきであり、平均に対して平均リターンの二倍を超える人は存在しないはずだ。次の質問が、過去がその人の将来の投資リターンを代表するかどうかであれば、人間の寿命の問題をさらに考えることができる：ある人が70歳まで生きる確率は、彼がすでに60年生きているかどうかに関係があるだろうか？または、あるファンドマネージャーが過去に良好なリターンを上げていた場合、私たちはどのような確率分布を期待すべきだろうか？
確率分布を組み合わせることができれば、理想的な状態は、情報理論におけるベイズ確率（Bayesian）をさらに考慮することだ。つまり、サイコロが1になる確率が何パーセントかを知ることは決してできないが、その確率に対する認識は観察したデータによって変わるのだ。
ケリー基準について、まだ解決されていない問題がある。利益の倍率bと勝率pをどのように推定するのか？
平均回帰と「運」
私たちが利用できる最初のツールは平均回帰である。
木は天まで伸びない。コインを投げても永遠に表が出続けることはない。
これは理解しやすいことだ。
しかし、理解しにくいのは、毎回のコイントスが50%であるにもかかわらず、連続して表が出た後に、次に表が出る確率が小さくなるように感じることだ。
まず、ベルヌーイ試行の二項分布の計算を忘れて、このことを直感的に理解できるだろうか？
コインが自分で運を計算しているのだろうか？投げるたびに少しずつ運を使い果たし、ある時点で運が尽きるのだろうか？
実際の問題はその50%にある。小学生にコインの表が出る確率を尋ねると、50%と答えるだろう。しかし、この数字はどのようにして得られるのだろうか？どういう意味だろうか？コインを投げる瞬間に世界が二つに分かれ、一方が表を見て、もう一方が裏を見るのだろうか？
確率についての本を開くと、次のことが書かれている：
1. 均一なコインを投げる際、投げ方を制御せず、ぶつけない（片面が重いコインがあり、表が出る確率が50%でない場合もある。また、毎回表が出るように精密に設計されたコイン投げ機も存在する）
2. 投げ続け、100回ごとに表が出た回数を数える
3. 投げる回数が増えるにつれて、100回中の表が出る回数が50回に近づいていくことがわかる
したがって、実際にはコインが自分で数えているのではなく、私たちがコインの表が出る確率を50%とする際に、すでに事前に数えているのだ！
毎回のコイントスが50%であるにもかかわらず、連続して表が出た後に、次に表が出る確率が小さくなる。
これは典型的なギャンブラーの誤謬（gambler's fallacy）である。
基本的な物理的関係が変わらない限り、コイン自体の表裏の傾向は変わらず、コインには記憶がない。
運が尽きることはないが、8回表が出たときには、自分が幸運であることを喜ぶべきだ。
回帰が起こるのは、平均が存在するからだ。これは、ランダム性があるものの、ランダムな要素（極端値と平均値の間に関連のない部分）が少なくとも「スペクトル」を持っているため、事態が極端に逸脱することはないことを示している。
いずれにせよ、私たちは同じコインを投げており、前後の異なる時間や場所でコインの表裏を決定する要因は大差ないと考えている（物理学者はこれを対称性と呼ぶ）。
しかし、「事態が一般に極端に逸脱しない」ということは、ニュートン力学のような自然法則ではなく、平均の定義に基づくものに過ぎない。固定された平均の存在がコインの持つ特性によるものか、私たちの見方によるものかは難しいところだ。
では、いつ「スペクトル」から逸脱するのだろうか？
いくつかのケース：
1. トレンド。例えば、近年の中国のGDP。これは清代のGDPに回帰することはない。同じGDPという名前でも、工業化・都市化後の経済と小農経済は同じものではない。
2. 断層。天然痘ワクチンの発見前と後では、死亡率の平均は完全に異なる。
3. ランダム性の要素は累積し、時間の経過によって消散しない。
第三のケースはランダムウォークとも呼ばれ、このプロセスは酔っ払いが歩くようなもので、揺れながらどこに行くかわからず、元には戻らない。
アカデミックな教科書では、株式は典型的なランダムウォークであり、平均がないため、過去の価格から未来の株価がどこに向かうかを予測できる人はいない。
酔っ払いがあまりにも偏って歩くと溝に落ちることがあるが、会社の価値が本当に無限大になることはあるのだろうか？
偶然
平均回帰の意味は偶然が起こりにくいということだ。
しかし、偶然は起こる。偶然が起こる確率はどれくらい小さいのだろうか？
コインを10回投げて、8回以上表が出るのは偶然だろうか？
そのように言えるかもしれない。
8回以上表が出る確率はどれくらい小さいのだろうか？
計算してみよう。
P(10回投げて8回以上表が出る) = 5.74%
P(20回投げて16回以上表が出る) = 0.13%
P(30回投げて24回以上表が出る) = 0.02%
驚くことに、ほぼ5%だ！
100人中5人は8回以上表が出ることを経験する。サンプルが増えるにつれて、80%の表が出る割合は徐々に小さくなる。
小さなサンプルでは、偶然が起こる確率は私たちが想像するよりもはるかに大きい。人は物事に説明をつけたがる傾向がある（これが成功学や陰謀論が人気な理由だ）。そのため、私たちはサンプルの大きさを無視し、偶然から偽の規則を見出しがちだ。そして偶然の前では、その「基準」を見逃しがちだ。
ギャンブルで発展した主観的確率論
どのようにして偶然が私たちの見方に与える影響を排除できるだろうか？
まず、確率というものを再認識する必要がある。
世界には表が出る確率が50%のコインを見つけられる人はいない。なぜなら、確率が50%であることを証明するには、そのコインを無限に投げ続ける必要があるからだ。そしてこの不幸な友人は一生コインを投げ続け、死んだ後も子孫が引き継ぐ必要がある。
なぜ無限に投げ続ける必要があるのだろうか？なぜなら、1000回や1000万回では十分とは言えないからだ。恐ろしい状況を想像してみよう。ある農場に1匹の豚がいる（仮にこの豚は誰も殺さなければ不老不死であるとする）。この豚が明日殺される確率を予測しようとしたら、どう考えるだろうか？
しかし、それでも私たちはコインの表が出る確率が50%だと考える。確率は現実世界から測定できるもの（例えばコインの特性）ではなく、この前、議論した効用と同様に、私たちの頭の中の見方だと考えることができる。
私たちは新しい情報に基づいて、ある事柄に対する見方を絶えず更新する。可哀想な豚は自分がいつか殺される確率を考え出すことはできないが、この農場の農場主は以下のことを行うことができる：
1. 各豚が何日生きたかを統計する
2. 日数を合計し、平均を計算する（または豚の寿命の棒グラフを作成する📊、左が小さく右が大きい）
3. ある生きている豚が何日生きたかを見て、その平均からどれだけ離れているかを確認する
農場主は確率を計算するだけでなく、心の中で基準を持ち、農場でカジノを開いて、800日以上生きた豚に賭けることで100円を得ることができると考えることができる。この人がゲームに参加するためにいくら払うかによって、その人が頭の中で信じている豚が800日以上生きる確率がどれくらいかを知ることができる。
情報と条件付き確率
もし以前は800日後に豚を殺していたのに、ある日500日で殺された豚がいたとする。その後の10頭の豚が800日以上生きる確率はどう変わるだろうか？
農場主の好みが変わった可能性がある（農場主が賭け客のために早く豚を殺すことはないと仮定する）。ある日突然、もっと若い豚を食べたいと思ったのだろうか？今後は500日前後で豚を殺すのだろうか？
しかし、豚を殺す日数には平均があるかもしれない。例えば、ある種の人道主義的な規定があり、すべての豚に楽しい青春を過ごさせる必要があるとする。豚を殺す日数は平均に回帰するのだろうか？
それなら、800日以上生きた豚に賭けて100円を得るという賭けに、あなたはいくら払いたいだろうか？
ここまで読んで、偶然の章での一文を覚えているなら、それがまた当てはまることに気づくだろう。
私たちはまた、ある現象に因果関係の説明を考え出しているようだ。
しかし、このように確率を定義すると、非常に気分次第のものになる。人の頭の中の確率は楽観的か悲観的か、豚が長く生きるか短く生きるか、平均回帰の幅が大きいか小さいかに依存する。